비선형(Nonlinear) 개념과 비선형 정적해석

 

 

비선형(Nonlinear)

 

비선형(Nonlinear) 개념과 비선형 정적해석

자연계의 현상은 정확히 말해서 모두 비선형현상이라고 볼 수 있습니다. 그러나, 미소변형의 범위 내에서는 선형정적해석을 수행하는 것으로도 비선형정적해석과 거의 동일한 해석 결과를 얻을 수 있기 때문에 비선형성을 고려할 필요가 없습니다. 비선형정적해석은 선형정적해석에 비해 해석에 소요되는 노력과 시간이 큽니다. 그래서, 실무에서는 선형정적해석을 수행 한 후 결과를 분석하여 추가적으로 비선형정적해석 수행 여부를 결정하는 것이 일반적입니다.

목차

 

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1. 비선형(Nonlinear)이란 무엇인가?

선형(Linear)과 비선형(Nonlinear)의 차이점은 무엇인가? 선형은 수학에서 나타내는 1차식이나 1차 함수를 말합니다. 즉 선형이란 그래프의 형태가 1개의 직선으로 표현된다는 뜻입니다. 반면 비선형(非-선형, Non-Linear)은 1개의 직선으로 표현되지 않는 모든 형태를 말합니다. 즉, 1차 방정식으로 표현되지 않는 모든 형태를 비선형이라고 합니다. 

선형(Linear)

비선형(Linear)

상기의 그림에서 중요하게 보아야 하는 사항은 기울기(a) 입니다. 선형은 1개의 일정한 기울기를 가지는 반면, 비선형은 1개 이상의 기울기를 가집니다. 즉, 기울기의 변화가 없는 것은 선형, 기울기가 임의의 조건에 의해 변한다면 비선형입니다.
일반적으로 선형정적해석의 기본 방정식은 다음 식과 같다.

{F} = [K]{U} 
여기서, {F} : 하중 벡터
{U} : 변위 벡터
[K] : 강성 행렬(Stiffness Matrix)

선형정적해석의 경우에는 강성행렬이 일정한 값을 가지는 하중과 변위의 관계식을 이용하여 해석을 수행합니다. 반면, 비선형현상을 포함하고 있는 구조물은 하중과 변위의 관계가 선형관계를 가지고 있지 않는 것을 의미합니다.
즉, 비선형성을 포함하고 있는 구조물의 기본적인 특성은 하중이 변함에 따라 구조강성이 변한다는 것을 의미합니다.

 

선형(Linear)과비선형(NonLinear) 비교

 

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반응형

 

2. 구조 강성이 변하는 주요 원인

구조의 강성이 변하는 주요 원인은 다음과 같은 3가지 사항입니다.
 

 1) 기하 비선형 (Geometric Nonlinearities)

변위 또는 회전량이 커짐으로써 하중의 작용방향과 분포, 크기가 달라지는 문제

 

  2) 재료 비선형 (Material Nonlinearities)

하중이 가해짐에 따라 재질의 특성이 비선형성을 나타내는 문제

 

  3) 접촉 비선형 (Contact Status)

요소간 경계부분의 비선형이나 경계조건의 변화로 인해 생기는 접촉

상기의 3가지 사항이 구조물의 강성을 변화시키는 주요 원인이며, 이 3가지 사항 중 어느 한가지라도 포함되는 경우에는 비선형 해석을 수행합니다. 

 

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3. 비선형정적해석이 필요한 경우

비선형정적해석이 선형정적해석 만큼 빠르고 쉽게 모형화하고 해석조건을 설정할 수 있다면, 비선형정적해석의 수행여부를 결정할 필요는 없을 것입니다. 비선형정적해석은 선형해석에 비해 해석을 위한 절차가 복잡할 뿐 아니라, 올바른 결과를 얻기 위한 기법들을 익히는 데도 상당한 시간과 추가적인 노력들이 소요될 수 있습니다. 결론적으로 해석자나 설계자는 비선형정적해석을 수행해야만 하는 이유를 판단할 수 있어야 합니다.
 

  1) 정확한 최종 결과를 얻어야 하는 경우

해석초기의 비교해석이나 경향해석을 위해서는 재료의 비선형성이나 대변형을 무시한 해석을 수행할 수 있습니다. 그러나, 설계 후반부에서 단순화하고 근사화했던 것들에 대해 의문을 갖게 되는 시점이 있을 수 있습니다. 제품의 안정성을 고려한다면 제품의 원형(Prototype) 제조 전에 적어도 한번 이상의 비선형 거동을 검토하는 것이 필요합니다.

 

  2) 접촉이 존재하는 모델의 경우

완성품의 경우 대부분 부품들의 조합으로 이루어 집니다. 부품 상호간에 접촉하거나 미끄러짐 또는 떨어지는 효과들을 고려해야 하는 경우가 있습니다. 이런 거동을 정확히 확인하고자 하는 경우 비선형 해석이 필요합니다. 

 

   3) 유연한 부품의 대변형

얇은 구조물의 경우 대변형 효과를 고려하지 않는다면 극단적인 변형이나 응력을 유발 할 수 있습니다. 박판(thin-Walled) 구조물의 변형은 대변형 효과를 고려하는 경우 선형해석결과의 1/5에 지나지 않습니다. 단순히 선형해석 결과만으로 이러한 변형의 감소를 예측하는 것은 불가능 합니다.

 

  4) 그 외 비선형 거동이 예상되는 경우

 최대응력이 재료의 항복응력와 유사한 경우.
 특정 부품이 정상적인 성능을 위해 의도된 대변형을 발생 시킨 경우. (철사로 묶은 부품, 스프링 등)
 비정상적으로 높은 변형을 나타내는 경우.
 두 개의 표면 또는 곡선이 관통하는 경우. 

 

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4. 비선형정적해석 이론

비선형정적해석 이론의 핵심사항은 구조물 강성 재평가, 반복 해법(Iteration Method), 하중 증분(Load Increment) , 수렴성 평가(Convergence Criteria)라고 할 수 있습니다.

 

  1) 구조물 강성 재평가 및 반복 해법

선형해석에서는 계산하고자 하는 미지수와 방정식의 수가 일치하여 연립방정식을 푸는 것과 동일한 방법을 사용합니다. 그러나, 비선형해석에서는 미지수가 더 많기 때문에 미지수를 추정하여 문제를 계산하게 됩니다. 이러한 추정치는 오차 평가가 수행되어 오차 범위 내에 해가 얻어 질 때까지 추정치를 조정하고 다시 해석하는 반복 해법을 사용합니다.

 

그림 4 강성 재평가를 위한 반복 해법

 

  2) 비선형 정적해석 과정

다음 순서도는 비선형정적해석 과정을 해석에 초점을 맞춰서 설명하고 있습니다.

  ① 단계에서는 구조물 초기 상태를 정의 하고 있습니다. 기본적으로 각 요소 별 강성을 계산하고 추가적으로 초기 응력이나 기타 구조물 강성에 영향을 줄 수 있는 변수들을 계산합니다.

  ② 단계에서는 사용자가 입력한 하중증분 개수 또는 자동증분을 고려하여 단계 별 하중 값을 계산합니다. 이러한 하중을 외력이라고 부릅니다.

  ③ 단계에서는 불평형력(Out-of-balance force)을 계산하는 단계 입니다. 계산된 불평형력을 비선형 방정식의 하중 항으로 사용합니다.

  ④ 단계에서는 불평형력과 재평가된 구조물 강성행렬을 사용하여 증분변위를 계산합니다.

  ⑤ 단계에서는 증분변위를 매 회 누적하여 구조물의 최종변위를 계산합니다.

  ⑥ 단계에서는 증분변위를 이용하여 수렴성 여부를 판단합니다. 수렴한 경우 최종 누적변위가 해당 단계에서의 실제변위가 됩니다.

  ⑦ 수렴이 안된 경우 증분변위를 근거로 하여 구조물의 기하, 재료, 경계 비선형을 반영한 구조물 강성을 다시 계산하고 3단계에서 시작 합니다.

  ⑧ 누적 변위를 이용하여 해당 단계의 해석결과 (변위, 반력, 부재력, 응력, 변형도 등) 를 출력합니다. 최종하중에 도달했을 때는 해석을 종료합니다.

 

그림 5 비선형해석 순서도

 

  3) 하중 증분

비선형 해석은 총 하중을 증분으로 나누어 연속적으로 가하면서 중간해들을 구합니다. 앞서 살펴 본 비선형 정적해석 순서도상의 2단계~8단계까지 과정이 하나의 하중 단계를 의미합니다. 하나의 하중 단계가 너무 크면 해석기는 오차를 줄여나가는 과정에서 수렴에 실패할 수 있습니다. 반대로 하중 단계가 너무 작으면 해를 구하는데 지나치게 많은 시간이 소요될 수 있습니다. 따라서 하중 단계는 수렴이 보장될 수 있는 수준으로 충분히 작으면 됩니다. 하중 단계를 지정하기 위한 일반적인 지침들은 아래와 같습니다.

첫 번째 하중 단계에서 소성을 유발해서는 안됩니다. 이 조건을 만족시키기 위해서는 선행된 선형해석결과를 활용 할 수 있습니다. 재료가 선형성을 보이는 응력 범위 내 (발생최대응력 < 항복응력) 에서 첫 번째 하중 단계를 결정할 수 있습니다.
급격한 상태 변화 시점에서는 하중 단계를 작게 해야 합니다. 어떤 하중 단계에서 높은 응력 또는 변형률이 국부적으로 집중되어 있다면 급격한 상태 변화가 발생한 것으로 판단할 수 있습니다. 이러한 경우 하중 단계를 작게 해서 수렴성을 높이도록 합니다.

비선형성이 점진적으로 진행되는 경우 하중 단계를 크게 할 수 있습니다. 하중을 받기 전부터 구조물에 접촉이 존재 하거나, 완만한 대변형이 발생하는 경우를 예로 들 수 있습니다.
 

  4) 수렴조건 (Convergence Criteria)

비선형 해석은 반복법을 이용하고 있기 때문에 수렴조건을 이용하여 해의 수렴여부를 판단합니다.

수렴조건의 선택은 해석조건에 따라 달라질 수 있습니다. 강제변위를 사용하는 경우에는 변위 (Displacement) 조건을 사용하는 것은 적절하지 않습니다. 반면에 구조물이 자유롭게 변형될 수 있는 구조인 경우 하중(Load)조건은 부적절할 수 있습니다. 비선형 조건에서 수렴조건을 선택하는데 어려움이 있다면, 각 수렴조건을 사용하여 각각의 결과를 비교해 보는 것이 좋습니다.

수렴조건의 선택은 해석조건에 따라 달라질 수 있습니다. 강제변위를 사용하는 경우에는 변위 (Displacement) 조건을 사용하는 것은 적절하지 않습니다. 반면에 구조물이 자유롭게 변형될 수 있는 구조인 경우 하중(Load)조건은 부적절할 수 있습니다. 비선형 조건에서 수렴조건을 선택하는데 어려움이 있다면, 각 수렴조건을 사용하여 각각의 결과를 비교해 보는 것이 좋습니다. 

 

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5. 비선형정적해석 시 고려사항

 

  1) 재료 또는 접촉조건의 검토를 위한 시험 모델

비선형 재료 데이터를 시험하기 위한 시험 모델을 사용할 수 있습니다. 간단한 인장 또는 굽힘 모델을 이용하면 재료 모델에 대한 사전 검증을 할 수 있고, 재료 모델의 거동을 해석적인 관점에서 파악하면 하중 스텝을 선택하는데 도움이 됩니다.
만일, 접촉조건을 사용한 해석이 필요하다면 최종 시스템의 일부만을 모델링하여 개략적인 하중 조건에서 시험해보는 것이 좋습니다. 시험모델을 통해서 접촉 강성, 요소망의 요구조건, 마찰 계수들을 조절할 수 있습니다.
 

  2) 선형정적해석 수행

비선형해석에 접근하기 전에 항상 선형해석을 먼저 수행해 보는 것을 권장합니다. 선형해석을 통해 경계조건을 검토하고 변형과 응력 분포를 개략적으로 미리 알아낼 수 있습니다. 특히, 프와송 효과가 크게 나타나거나 응력이 집중되는 과다 구속 모델은 선형해석을 통해 파악할 수 있습니다.
또한, 전반적인 해의 정확성을 위한 요소망의 수렴성은 선형문제에서 검토하는 것이 효율적입니다. 비선형해석의 수행 여부는 선형해석을 통해 미리 검증할 수 있습니다. 비선형성의 정도가 심하지 않은 문제에서는 선형해석을 미리 수행하여 변위나 응력의 크기를 검토한 후에 비선형해석의 필요성 여부를 판단하는 것이 필요합니다. 만약, 비선형해석이 필요하다고 판단된다면, 소성 천이 시점을 예측하여 하중 스텝을 설정하는데 이용할 수 있습니다. 또한, 접촉이 예상되는 문제에서는 실제로 접촉이 발생할지 여부를 예측하여 필요한 부분에만 접촉조건을 설정하면 해석소요 시간을 줄일 수 있습니다.
 

 3) 대변형 비선형해석의 수행

재료 비선형성을 제외하고 대변형 효과만을 고려하여 해석을 실행하면 좀더 쉽고 빠르게 수렴된 해를 얻을 수 있습니다. 때로는 대변형 해석에서 발생하는 응력 강성 효과에 의해 재료 비선형성이나 접촉조건의 필요성을 제고하게 되는 경우도 발생하게 됩니다. 
 

 4) 접촉조건을 고려한 해석

작은 모델의 경우 접촉조건 지정에 대하여 별다른 고민 없이 곧바로 해석을 수행할 수 있습니다. 그러나 모델의 크기가 조금만 커져도 접촉조건의 사용에 의한 수렴성 문제를 경험할 수도 있고 계산 시간에 대한 부담을 느끼게 됩니다. 또한, 실제로 접촉조건이 할당된 영역 중에서 접촉을 일으키는 영역은 많지 않습니다. 반대로 모델의 변형이 예상치 않은 방향으로 진행되어 기대하지 않았던 곳에서 접촉이 발생하기도 합니다. 접촉조건의 사용 여부와 접촉영역의 구체화를 위해 모델을 면밀히 검토하는 것을 권장합니다.

 

 5) 수렴성에 문제가 발생할 때

접촉해석과 완만한 대변형이 포함된 해석은 비교적 쉽게 수렴합니다. 반면, 재료 비선형성을 고려한 모델은 많은 반복계산을 통해서만 수렴된 해에 도달하게 됩니다. 모델이 바로 수렴하지 않는 경우, 간단한 입력 값의 조절을 통해 수렴된 해를 구할 수 있습니다. 다음은 일반적인 방법들을 열거한 것입니다.

 하중 증분 수를 증가 시킵니다.
 여러 개의 하중조건을 이용하여 하중을 분할 합니다.
 일반적인 재료 모델을 사용합니다. (예를 들면, 쌍선형 (Bilinear) 응력-변형률 곡선)
 높은 응력이 나타나는 응력을 대상으로 요소의 형상을 검토합니다.
 불필요한 국부 응력이 집중되지 않도록 하중을 재 분포합니다.
 응력이나 변위의 거동에 이상이 있을 경우, 바로 전 단계의 하중 스텝을 검토합니다.
 모델이 다수의 비선형성을 가지고 있다면, 한번에 하나씩 검토를 합니다.
 해석기의 로그나 메시지 파일을 검토하여 해석의 안정성을 해치는 절점이나 요소가 있는지 검토를 합니다. 특정 절점이나 요소에 대해서 반복적으로 문제가 있는 경우, 요소망의 수정이 필요합니다. 

 

  6) 유한요소 모델링 시 고려사항

유한요소 생성과 모델링에 대한 지침들은 선형해석 문제보다는 비선형해석 문제에 적용될 때 효과가 큽니다.

 대칭 조건을 활용합니다. 선형해석에서도 효과가 크지만 비선형해석에서 더욱 큰 효과가 있습니다. 그러나, 비선형 좌굴문제 또는 동적해석에서는 대칭 조건을 사용하지 않아야 합니다.

 시험모델을 이상화 합니다. 시험모델의 경우 이상화를 통해 쉽게 모델링하고 해석시간을 줄일 수 있으며, 사전에 많은 정보를 얻을 수 있습니다.

 비선형 재료 모델의 사용을 최소화 합니다. 가장 효과적인 모델링은 소성이 예상되는 영역에만 비선형 재료를 사용하는 것입니다. 비선형 재료를 필요한 부분에서 국한하여 사용하면 해석기가 해당부분만을 반복해석하기 때문에 계산시간을 줄일 수 있습니다.

 변형률이 높은 영역의 요소망을 세밀하고 부드럽게 합니다. 비선형 해석은 요소의 뒤틀림 (Distortion)에 민감하고, 이런 요소에 의해 발생하는 불연속성 때문에 반복계산 회수가 증가합니다. 접촉 영역의 요소망은 접촉 응력이 발생할 때 이를 반영할 수 있도록 세밀화하여야 합니다. 접촉 영역이 작을수록 요소망의 세밀화 정도가 높아야 하며, 반대로 응력이 낮은 곳에서는 전체 강성에 영향을 주지 않는 한도 내에서 요소를 크게 모델링 하여도 무방합니다.
 대변형에 의해 발생하는 요소의 뒤틀림을 예방할 경우 해석 전에 인위적인 방법으로 요소의 형상을 반대방향으로 조정할 수 있습니다. 초기 요소를 인위적으로 왜곡되게 생성한 후 대변형 이후에 오히려 요소 형상이 이상적인 모양이 되도록 할 수 있습니다.

 모델 내 작거나 중요하지 않은 부분에서 수렴 문제가 발생할 수 있습니다. 선형해석에서는 필렛 (Fillet) 처럼 정밀하게 솔리드 모델링을 수행하기에는 많은 시간이 소요되는 요소들을 그대로 남겨 둬도 무방합니다. 그러나, 비선형 해석에서는 정밀하지 않게 모델링한 부분의 요소가 문제를 일으킬 수 있습니다. 불필요한 요소들로부터 과도하게 책정된 요소망의 크기가 선형해석 시간에는 크게 영향을 주지 않겠지만, 비선형해석의 반복계산과 수렴에 미치는 영향은 예상외로 클 수 있습니다.

 회전 (Revolve), 압출 (Extrude) 을 이용하여 육면체나 삼각기둥 요소생성-사면체요소보다는 육면체(Hexa), 삼각기둥 (Wedge) 요소가 적은 수의 요소망으로도 정확한 해석결과를 제공해 줄 수 있습니다.

 

 

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