[고체역학] 고체역학의 기본 개념과 응력-변형률 관계

 

고체역학의 기본 개념과 응력-변형률 관계

고체역학의 기본 개념과 응력-변형률 관계

 고체역학은 고체의 구조, 특성, 거동을 연구하는 학문으로 공학, 재료과학, 물리학, 생물학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다. 고체역학의 기본 개념과 응력-변형률 관계에 대해 정리했습니다.

목차

 

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1. 고체와 고체역학

 

물질에는 기체, 액체, 고체, 세 가지 상태가 있으며, 각 상태는 다음과 같은 기본적인 특징을 가지고 있습니다.

• 기체, 액체
  용기에 담겨 있지 않고서는 스스로 위치와 모양을 유지할 수 없습니다.
• 고체
  용기에 담겨 있지 않아도 스스로 위치와 모양을 유지합니다.

이처럼 고체의 가장 큰 특징은 스스로 자신의 위치와 모양을 유지할 수 있는 것이며, 고체역학은 외부의 작용
에 의한 고체의 위치와 모양의 변화, 그리고 이에 따른 모양의 유지가능 여부를 연구하는 분야입니다.

 

• 고체역학
  외부의 작용에 대핚 고체의 운동, 변형과 안정성을 연구하는 분야

고체역학에서 고체의 운동, 변형과 안정성을 표현할 때에는 변위, 변형률, 응력을 사용합니다.

 

• 변위 (displacement, u)

변위는 위치의 변화량으로, <그림 1>에서 점 Q가 외부하중 P의 작용에 의해 Q'로 이동하면 이 점의 변위는 다음과 같은 벡터로 정의할 수 있습니다.

변위의 단위는 [길이]입니다.

 

• 변형률 (strain, ε)

변형률은 고체의  변형(deformation)을  측정하는  기준으로, <그림  1>에서 길이의 변화량 ΔL을 원래 길이 L₀로 나눈 값 ε=ΔL / L₀로 정의합니다. 변형률은 단위가  없는  무차원의  수입니다.
  

• 응력 (stress, σ)

 고체역학에서의 응력은 외부작용에 대해 고체가 모양을 유지하는데 요구되는 힘, 내부저항력으로 고체의 강도적인 안전성을 평가하는 기준이 됩니다.

 어떠한 외부작용(하중)에 대해 고체가 자신의 모양을 유지하는데 필요한 힘인 응력(σ)과 고체가 쓸 수 있는 최대 힘인 극한응력(ultimate stress, σ_u) 을 서로 비교하여 이 고체의 안전성을 판단할 수 있습니다. 즉, 외부작용에 대해 고체가 모양을 유지하는데 필요한 힘인 응력이 고체가 쓸 수 있는 최대 힘인 극한응력보다 크게 되면 고체는 더 이상 모양을 유지하지 못하고 파괴됩니다.

 

이 두 응력의 비율을 안전율(factor of safety, F.S = σ_u / σ)이라고 하며, 반드시 1보다 커야 합니다.

일반적인 설계에서는 2~2.5의 안전율을 사용하며, 극한의 안전율이 요구되는 경우 그 이상의 안전율을 사용하기도 합니다.

<그림 1>의 단면적이 A인 봉에 축방향의 하중 P가 작용하였을 때, 이 고체의 응력은 σ = P / A로 정의됩니다.

응력은 단위면적당 작용하는 힘이며, 압력과 동일하게 [힘/면적]의 단위를 사용합니다.

압력과 응력의 차이는 이 두 힘이 각각 외력(external force)과 내력(internal force)이라는 점입니다. 즉, 압력은 고체에 변형을 유발하는 외부작용력이지만, 응력은 이러한 외부작용에 대해 고체가 자신의 모양을 유지하기 위해 스스로 발휘해야 하는 내부저항력입니다.

 

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2. 응력-변형률 관계

재료의 역학적 거동을 정의하는 가장 중요한 특성인 응력-변형률 관계는 재료의 인장시험을 통해 얻어집니다.

 

<그림 2>의 응력-변형률 곡선으로부터 다음과 같이 재료의 중요한 역학적 거동 특성과 관련 개념들을 정리할 수 있습니다. 응력과 변형률은 각각 작용하중(P)과 변형량(ΔL)에 비례하므로, 작용하중과 변형량의 관계도 응력-변형률 곡선과 유사한 모양을 보입니다.

 

• 탄성영역, 항복점, 소성영역

 스프링의 양끝을 잡고 미소한 힘으로 잡아 당겼다 놓으면 스프링이 원래의 모양으로 되돌아 가지만, 일정 크기 이상의 힘으로 세게 잡아 당겼다가 놓으면 스프링이 원래의 모양으로 되돌아 가지 못하고 영구변형이 발생하는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.

 이처럼 작용하중을 제거하였을 때, 재료가 초기의 모양(상태)으로 되돌아 가는 영역을 재료의 탄성영역(elastic zone)이라고 합니다. 반대로 작용하중을 제거하여도 재료가 초기의 모양(상태)으로 되돌아가지 못하는 영역을 소성영역(plastic zone)이라 하며, 영구변형(소성변형)이 발생하였다 또는 재료에 항복(yielding)이 발생하였다고 합니다.

 이 탄성영역과 소성영역의 경계가 항복점이고, 이때의 응력이 항복응력(yield stress, σ_y)입니다.

 외부하중의 작용에 대해 고체의 파괴 가능성을 판단할 때에는 응력과 재료의 극한응력(σ_u)을 비교하지만, 일반적인 설계에서는 항복(영구변형)이 발생하는 것을 방지하여야 하므로 보통 응력과 재료의 항복응력(σ_y)을 비교하여 안전성을 판단하는 경우가 많습니다.

• 탄성계수와 응력-변형률의 관계

 <그림 2>에 보이는 것처럼 탄성영역에서는 응력과 변형률이 선형(직선, linear)의 비례관계를 보입니다. 이 탄성영역에서 응력-변형률 직선의 기울기가 탄성계수(elastic modulus, E)이고, 탄성영역에서 응력과 변형률은 σ=Eε의 관계를 갖습니다.

• 후크의 법칙 (Hooke’s law)
  탄성영역에서 변형량(변형률)은 하중(응력)의 크기에 비례한다.
  
  
• 탄성계수 (E)
  탄성영역에서 직선의 기울기, 응력과 변형률의 비례상수

 이러한 관계를 이용하여 탄성영역에서는 변위를 구하면 변형량, 변형률을 계산할 수 있고, 변형률과 탄성계수의 곱으로 응력을 계산할 수 있습니다.

 참고로, 재료의 탄성영역에서는 선형해석이 가능하지만, 재료가 소성영역으로 넘어가게 되면 응력과 변형률이 더 이상 선형 비례관계가 아니므로 재료의 비선형 거동을 고려할 수 있는 재료비선형 해석을 수행하여야 합니다.

 

 

 

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